半等变环面映射及其 k-边覆盖

若映射中所有顶点的面环类型相同，则该映射称为半等变（semi-equivelar）。若任意两条具有同余面环顶点的边，则称该平铺是边齐次的（edge-homogeneous）。一般地，曲面上的边齐次映射构成比边传递映射更大的类。存在不是边传递的环面边齐次映射。若包含 $k$ 个边轨道，则称边齐次映射为 $k$-边齐次的。特别地，若 $k=1$ 则称为边传递映射。一般地，若包含 $k$ 个边轨道，则称映射为 $k$-边轨道的或 $k$-轨道的。若边数最小，则称映射为极小的。从映射 $M$ 到映射 $K$ 的满射 $\eta \colon M \to K$ 若保持邻接并分别将 $M$ 的顶点、边、面送到 $K$ 的顶点、边、面，则称为覆盖。Orbani{\' c} 等人及 {\v S}ir{\'a}{\v n} 等人已证明每个边齐次环面映射都有边传递覆盖。在本文中，我们给出了环面边齐次映射的边轨道数的界。利用这些界，我们给出了非边齐次的半等变环面映射的边轨道数的界。我们还证明，若边齐次映射是 $k$ 边轨道的，则它对 $m \le k$ 具有有限指数 $m$-边轨道极小覆盖。我们还展示了对每个 $n \in \mathbb{N}$ 环面边齐次映射的 $n$ 叶覆盖的存在性与分类。我们将此推广到非边齐次的半等变环面映射，并证明相同结果，即若非边齐次映射是 $k$ 边轨道的，则它对 $m \le k$ 具有有限指数 $m$-边轨道极小覆盖（非边齐次），并进而对每叶数进行分类。