正交对角映射、矩形平铺及其向共形映射的收敛

Brooks、Smith、Stone 和 Tutte 的一个经典结果将任何具有区分源点和汇点的有限平面网络与一个由较小矩形平铺而成的矩形相关联，这些小矩形的纵横比由网络中相应边的电导给出。这种平铺可以被视为一个均匀化共形映射的离散模拟，该映射将一个具有四个区分端点的单连通区域映射到一个矩形，使得这四个端点被映射到矩形的四个角。\ \ 我们通过证明以下结论使这一直觉变得精确：如果 $\Omega$ 是一个具有按逆时针顺序排列的四个区分端点 $A,B,C,D$ 的单连通区域，且 $(\Omega_{n})_{n\geq{1}}$ 是一系列具有按逆时针顺序排列的区分边界顶点 $A_{n}, B_{n}, C_{n}, D_{n}$ 的正交对角图，它们是 $\Omega$ 及其区分边界点 $A,B,C,D$ 越来越精细的逼近，那么相应的“矩形平铺映射”在紧子集上一致收敛到 $\Omega$ 上的前述共形映射。