平面多项式与Fischer和Matousek的一个极值问题

设$G$为一个三部图，每个部分有$k$个顶点，并假设任意两部分之间不存在长度为四的圈。Fischer和Matoušek询问了此类图中三角形的最大数量。一个涉及任意射影平面的简单构造表明，存在具有$(1 - o(1)) k^{3/2}$个三角形的此类图，而双重计数论证表明其三角形数量不可能超过$(1+o(1)) k^{7/4}$个。利用有限域上由特定平面多项式定义的仿射平面，我们将下界改进至$(1 - o(1)) k^{5/3}$。