有限赋值环上模中的钉住距离

设 $R$ 为阶 $q^r$ 的有限赋值环，其中 $q$ 为奇数，$A$ 为 $R$ 的子集。本文证明在笛卡尔积集合 $A\times A\subset R^2$ 中存在一点 $u$，使得 $u$ 处的钉住距离集的大小满足 $$|\Delta_u(A\times A)|\gg \min\left\{q^r, \frac{|A|^3}{q^{2r-1}}\right\}.$$ 这意味着如果 $|A|\ge q^{r-\frac{1}{3}}$，则集合 $A\times A$ 确定了所有可能距离的正比例部分。