从仿射变换的范数进行相位恢复

在本文中，我们考虑基于仿射测量的广义相位恢复。该问题旨在从仿射测量 $y_j=\norm{M_j^*\vx +{\mathbb b}_j}^2,\; j=1,\ldots,m,$ 中恢复信号 ${\mathbf x} \in {\mathbb F}^d$，其中 $M_j \in {\mathbb F}^{d\times r}, {\mathbf b}_j\in {\mathbb F}^{r}, {\mathbb F}\in \{{\mathbb R},{\mathbb C}\}$，我们称之为{\em 广义仿射相位恢复}。我们为广义仿射相位恢复建立了一个框架，并给出 $\{(M_j,{\mathbf b}_j)\}_{j=1}^m$ 具有广义仿射相位恢复性质的充分必要条件。我们还建立了广义仿射相位恢复的最小测量数结果。特别地，我们证明若 $\{(M_j,{\mathbf b}_j)\}_{j=1}^m \subset {\mathbb F}^{d\times r}\times {\mathbb F}^{r}$ 具有广义仿射相位恢复性质，则对于 ${\mathbb F}={\mathbb R}$ 有 $m\geq d+\floor{d/r}$（对于 ${\mathbb F}={\mathbb C}$ 有 $m\geq 2d+\floor{d/r}$）。我们还证明当 $r\mid d$ 时该界是紧的。这些结果表明可通过提高 $r$（即 $M_j$ 的秩）来减少测量数。这突显了广义仿射相位恢复与广义相位恢复之间的显著区别。此外，利用代数几何工具，我们证明对于 ${\mathbb F}={\mathbb R}$（相应 ${\mathbb F}={\mathbb C}$）有 $m\geq 2d$（相应 $m\geq 4d-1$）个一般测量 ${\mathcal A}=\{(M_j,b_j)\}_{j=1}^m$ 具有广义相位恢复性质。