相位恢复的几何分析

我们能从傅里叶幅度恢复复信号吗？更一般地，给定一组 $m$ 个测量值，$y_k = |\mathbf a_k^* \mathbf x|$（其中 $k = 1, \dots, m$），是否能恢复 $\mathbf x \in \mathbb{C}^n$（即长度为 $n$ 的复向量）？这一广义相位恢复（GPR）问题是各学科中的基本任务，且是近期许多研究的主题。自然非凸启发式方法在GPR实践中经常表现惊人地好，但缺乏清晰的理论解释。本文中，我们朝弥合此差距迈出一步。我们证明当测量向量 $\mathbf a_k$ 是通用（独立同分布复高斯）且测量数量足够大（$m \ge C n \log^3 n$）时，高概率下，GPR的自然最小二乘公式具有以下良性几何结构：（1）无伪局部极小，且所有全局极小均等于目标信号 $\mathbf x$，至多相差一个全局相位；（2）目标函数在每个鞍点附近具有负曲率。此结构允许许多迭代优化方法无需特殊初始化即可高效找到全局极小。为证实该主张，我们描述并分析了二阶信赖域算法。