从仿射线性测量的幅度进行相位恢复

在本文中，我们考虑相位恢复问题，旨在从仿射测量的幅度中恢复信号。设 $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m \subset {\mathbb H}^d$ 且 ${\mathbf b}=(b_1, \ldots, b_m)^\top\in{\mathbb H}^m$，其中 ${\mathbb H}={\mathbb R}$ 或 ${\mathbb C}$。如果任何 ${\mathbf x}\in{\mathbb H}^d$ 都可以从仿射测量 $\{|<{\mathbf a}_j,{\mathbf x}>+b_j|,\, 1\leq j\leq m\}$ 的幅度中恢复，则称 $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ 和 $\mathbf b$ 对于 ${\mathbb H}^d$ 是仿射相位可恢复的。我们开发了仿射相位恢复的通用框架，并证明了 $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ 和 $\mathbf b$ 是仿射相位可恢复的充要条件。我们建立了关于仿射相位恢复的最小测量和通用测量的结果，以及关于稀疏仿射相位恢复的结果。特别地，我们还强调了仿射相位恢复与标准相位恢复（旨在从其线性测量的幅度中恢复信号 $\mathbf x$）之间的一些显著差异。在标准相位恢复中，只能恢复相差一个模为 1 的常数的 $\mathbf x$，而仿射相位恢复消除了这种模糊性。我们证明，与标准相位恢复不同，仿射相位可恢复的测量 $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ 和 $\mathbf b$ 在 ${\mathbb H}^{m\times d}\times {\mathbb H}^m$ 中不构成开集。此外，在复数设置中，标准相位恢复需要 $4d-O(\log_2d)$ 次测量，而仿射相位恢复仅需 $m=3d$ 次测量。