Weierstrass Prym 特征型周期点置换

Weierstrass Prym 特征型是一种在黎曼曲面上具有单一零点的微分，其拥有特殊的对称性。此类曲面配备有称为 Prym 对称变换的 involution。它们最初由 McMullen 发现，仅存在于代数 genus 为 2、3 和 4 的情况。此外，它们由两个不变式进行分类：判别式和自旋。我们研究了 Prym 对称变换固定点的置换方式。在先前的工作中，作者计算了在 genus=2 时仿射变换诱导的置换群，发现其为仅由判别式 $D$ 对 8 取模的剩余类决定的二面体群。在本文中，我们完成了 genus=3 的分类，证明仿射群在其三个（规则）固定点集合上的诱导置换群在 $D$ 为偶数且为 16 的二次剩余时，同构于 $\mathrm{Sym}_2$，否则同构于 $\mathrm{Sym}_3$。genus=4 的情况则是平凡的，因为 Prym 对称变换只固定一个（规则）点。在这两种情况下，同样的群也适用于仅考虑仿射群的 parabolic 元素。当 Weierstrass Prym 特征型诱导的 Teichmüller 曲线非算术时，Prym 对称变换的固定点与曲面的周期点重合。因此，在这种情况下，我们的结果也对周期点的置换进行了分类。