平方 discriminant 之 Humbert 表面的幾何

對於每個正整數 $N$，我們確定了 discriminant 為 $N^2$ 的 Humbert 表面的 Enriques-Kodaira 類型，該表面參數化與椭圆曲线乘积 $(N,N)$-同调的 principally polarised abelian surfaces。證明中的關鍵步驟是分析對 discriminant 為 $N^2$ 的 Hilbert 模ular表面的一個類似 Fricke 的不變映射的固定點集合，其由 Hermann 以及 Kani 和 Schanz 研究。為此，我們構造了某些“對角線”Hirzebruch-Zagier 約數，这些約數由該不變映射固定。在我們的分析中，我們獲得了這些約數的閉級數公式，其中包括與任何擴展 Cartan 子群相關的模曲線，這些公式可能對獨立的興趣也有價值。