Johnson 格式加权图上的完美态转移

我们刻画了 Johnson 格式 $\mathcal{J}(n,k)$ 实加权图上的完美态转移。给定 $\mathcal{J}(n,k)=\{A_1, A_2, \cdots, A_k\}$ 且 $A(X) = w_0A_0 + \cdots + w_m A_m$，利用经典数论结果，我们证明 $X$ 在时刻 $\tau$ 具有完美态转移当且仅当 $n=2k$、$m\ge 2^{\lfloor{\log_2(k)} \rfloor}$，且存在整数 $c_1, c_2, \cdots, c_m$ 使得 (i) $c_j$ 为奇数当且仅当 $j$ 是 $2$ 的幂，且 (ii) 对 $r=1,2,\cdots,m$，$$w_r = \frac{\pi}{\tau} \sum_{j=r}^m \frac{c_j}{\binom{2j}{j}} \binom{k-r}{j-r}.$$ 随后我们刻画了 $\mathcal{J}(n,k)$ 非加权图上的完美态转移。特别地，我们得到了一个简单构造，可生成所有在时刻 $\pi/2$ 具有完美态转移的 $\mathcal{J}(n,k)$ 图。