周期图

设 $X$ 为具有 $n$ 个顶点且邻接矩阵为 $A$ 的图，令 $H(t)$ 表示矩阵值函数 $\exp(iAt)$。若 $u$ 和 $v$ 是 $X$ 中两个不同的顶点，且存在时刻 $\tau$ 使得 $|H(\tau)_{u,v}|=1$，则称从 $u$ 到 $v$ 发生了完美态转移。若 $u\in V(X)$ 且存在时刻 $\sg$ 使得 $|H(\sg)_{u,u}|=1$，则称 $X$ 在 $u$ 处具有周期 $\sg$。我们证明，若从 $u$ 到 $v$ 在时刻 $\tau$ 发生完美态转移，则 $X$ 在 $u$ 和 $v$ 处均以 $2\tau$ 为周期。我们扩展了先前的工作，证明具有至少四个不同特征值的正则图关于某个顶点具有周期性，当且仅当其特征值为整数。我们证明，对于包含所有顶点传递图的一类图 $X$，若在时刻 $\tau$ 发生完美态转移，则 $H(\tau)$ 是一个无不动点的二阶置换矩阵的标量倍数。利用某些 Hadamard 矩阵，我们构造了一类新的无限图族，其上可发生完美态转移。