双星图上的良好状态转移

设 $A$ 为图 $X$ 的邻接矩阵，并假设 $U(t)=\exp(itA)$。我们将 $A$ 视为作用于 $\cx^{V(X)}$ 上的算子，并取该空间的标准基为 $e_u$，其中 $u \in V(X)$。物理学家称，若存在标量 $\gamma$ 使得 $U(\tau)e_u = \gamma e_v$，则在时刻 $\tau$ 从顶点 $u$ 到 $v$ 发生了完美状态转移。（由于 $U(t)$ 是酉的，$\norm\gamma=1$。）例如，若 $X$ 是 $d$ 维立方体且 $u$ 与 $v$ 相距 $d$，则在时刻 $\pi/2$ 从 $u$ 到 $v$ 存在完美状态转移。尽管存在这一优美的族，但完美状态转移显然是罕见的。因此我们考虑一种放宽：若存在复数 $\gamma$，且对每个正实数 $\epsilon$ 存在时刻 $t$ 使得 $\norm{U(t)e_u - \gamma e_v} < \epsilon$，则称从 $u$ 到 $v$ 发生了良好状态转移。同样地，此时必有 $|\gamma|=1$。Godsil、Kirkland、Severini 和 Smith 证明了，在路径图 $P_n$ 的两个端点之间存在良好状态转移当且仅当 $n+1$ 是 2 的幂、素数或两倍素数。（仅在 $P_2$ 和 $P_3$ 的两个端点之间存在完美状态转移。）良好状态转移的出现由数论条件刻画，这多少有些令人惊讶。本文研究双星图，即具有两个度为 $k+1$ 的顶点而其余顶点度均为 1 的树。我们证明，在两个度为 $k+1$ 的顶点之间永远不存在完美状态转移，并且它们之间存在良好状态转移当且仅当 $4k+1$ 是完全平方数。