完美态转移何时能够发生？

设 $X$ 是一个 $n$ 个顶点的图，其邻接矩阵为 $A$，并设 $H(t)$ 表示矩阵值函数 $\exp(iAt)$。如果 $u$ 和 $v$ 是 $X$ 中两个不同的顶点，若存在一个时间 $\tau$ 使得 $|H({\tau})_{u,v}| = 1$，则称从 $u$ 到 $v$ 发生了完美态转移。我们的主要问题是刻画完美态转移发生的情况。我们证明，如果图中确实发生了完美态转移，那么谱半径是一个整数或二次无理数；利用这一点，我们证明了存在有限多个具有完美态转移且最大度数至多为 4K4 的图。我们还证明，如果从 $u$ 到 $v$ 发生了完美态转移，那么图 $X\setminus u$ 和 $X\setminus v$ 是等谱的，并且任何固定 $u$ 的 $X$ 的自同构必然固定 $v$（反之亦然）。