Dyson、Airy 与 Sine 过程联合分布的偏微分方程
概率论
2007-05-23 v4 数学物理
math.MP
摘要
在一篇著名论文中,Dyson 证明,n×n 随机 Hermite 矩阵在按 Ornstein-Uhlenbeck 过程扩散时,其谱演化为受漂移项约束的 n 个不碰撞 Brownian 运动。对 Hermite 随机矩阵普遍的边缘与 bulk 标度应用于 Dyson 过程,得到 Airy 与 Sine 过程。特别地,Airy 过程是一个连续平稳过程,当粒子数趋于无穷且空间与时间适当重标度时,描述 Dyson Brownian 运动最外层粒子的运动。本文回答了 Kurt Johansson 提出的一个问题,即寻找 Airy 过程在两个不同时刻联合分布的 PDE。类似地,我们找到了 Sine 过程联合分布所满足的 PDE。这关键在于找到 Dyson 过程联合分布的 PDE,而后者基于耦合高斯 Hermite 矩阵特征值的联合概率。Dyson 过程的 PDE 随后接受与边缘及 bulk 重标度一致的渐近分析。这些 PDE 使得人们能够计算这些过程在不同时刻 t_1 与 t_2 联合分布与相关的渐近行为,当 t_2-t_1→∞ 时,如本文就 Airy 过程所展示。本文还严格证明了,控制 Dyson 过程联合概率的扩展 Hermite 核,在经过适当重标度后收敛于扩展 Airy 与 Sine 核。
引用
@article{arxiv.math/0403504,
title = {PDEs for the joint distributions of the Dyson, Airy and Sine processes},
author = {Mark Adler and Pierre van Moerbeke},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0403504},
year = {2007}
}
备注
Published at http://dx.doi.org/10.1214/009117905000000107 in the Annals of Probability (http://www.imstat.org/aop/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)