从 Dunkl 算子视角看多粒子扩散过程：弛豫至稳态

两族随机相互作用粒子系统，即相互作用布朗运动和 Bessel 过程，被定义为 Dyson 布朗运动模型以及 Wishart 和 Laguerre 过程本征值过程的扩展，其中来自随机矩阵理论的参数 $\beta$ 取为实正数。在这些系统中，多个粒子作为独立的布朗运动和 Bessel 过程演化，同时通过 logarithmic 势相互排斥。这些系统也是 Dunkl 过程的特例，Dunkl 过程是一类使用 Dunkl 算子定义的多元随机过程。在本论文中，研究了在适当缩放下的稳态以及相互作用布朗运动和 Bessel 过程的冻结（$\beta\to\infty$）机制，并证明了这些过程的缩放稳态分布在有限时间内收敛于随机矩阵 $\beta$-Hermite 和 $\beta$-Laguerre 系综的本征值分布。还表明，在冻结极限下，这些过程中粒子的缩放最终位置固定在 Hermite 和 Laguerre 多项式的零点处。这些结果是本论文中证明的两个更一般结果的推论。第一个结果是，一般的 Dunkl 过程在有限时间内收敛到仅取决于所考虑 Dunkl 过程类型的缩放稳态分布。第二个结果是，在冻结极限下，它们的缩放最终位置固定在一组称为峰值集的点集上，该点集是使其稳态分布最大化的点集。