直线上相互作用粒子与 A 型 Dunkl 交织算子：在冻结机制中的应用

我们考虑一个通过反对数势相互排斥的一维布朗粒子系统。我们研究了该系统的两种表述及其相互关系。第一种是 Dyson 布朗运动模型，其相互作用耦合常数由参数 beta > 0 决定。当 beta = 1, 2 和 4 时，该模型可视为高斯随机矩阵本征值统计的随机实现。第二个系统源于 Dunkl 过程，它是利用与称为根系（root systems）的有限抽象向量集相关联的微分差分算子（Dunkl 算子）定义的。当指定为 A 型根系时，Dunkl 过程构成一个类似于 Dyson 模型的单参数系统，不同之处在于其粒子会自发交换位置。我们证明了参数 k > 0 的 A 型 Dunkl 过程，若从任意对称初始构型出发，等价于参数 beta = 2k 的 Dyson 模型。我们聚焦于交织算子，因为它们在 Dunkl 算子的数学理论中起着核心作用，但其一般闭式形式尚未知晓。利用对称 Dunkl 过程与 Dyson 模型的等价性，我们从这些过程的跃迁概率密度中提取了 A 型交织算子对对称多项式的作用。在强耦合极限下，交织算子将所有对称多项式映射为其变量之和的函数。在此极限下，Dyson 模型发生冻结，变为一个确定性过程，其最终构型正比于 Hermite 多项式的根乘以过程时间的平方根，且与初始构型无关。