正矩阵强移位等价的路径方法

20 世纪 90 年代初，Kim 和 Roush 开发了路径方法，用于建立实数域 $\mathbb{R}$ 的稠密子环 $U$ 上正矩阵的强移位等价 (SSE)。本文对这些路径方法进行了详细、统一且推广的阐述。我们采用了针对 $\mathbb{R}$ 的任意稠密子环 $U$ 的新论证，证明了对于 $\mathbb{R}$ 的任意稠密子环 $U$，若 $U$ 上的正矩阵仅有一个非零特征值且在 $U$ 上强移位等价，则它们在 $U_+$ 上也强移位等价。此外，我们证明了位于强移位等价正实矩阵路径上的正实矩阵在 $\mathbb{R}_+$ 上是 SSE 的；在 $\mathbb{R}_+$ 上 SSE 的正有理矩阵必在 $\mathbb{Q}_+$ 上 SSE；且对于 $\mathbb{R}$ 的任意稠密子环 $U$，在 $U$ 上与给定矩阵共轭的 $U$ 上正矩阵集合中，仅存在有限个 SSE-$U_+$ 类。