外度至少为4的有向图划分

Scott提出了确定 $c_d$ 的问题：若 $D$ 是一个具有 $m$ 条弧且最小外度 $d\ge 2$ 的有向图，则 $V(D)$ 有一个划分 $V_1, V_2$ 使得 $\min\left\{e(V_1,V_2),e(V_2, V_1)\right\}\geq c_dm$，其中 $e(V_1,V_2)$（相应地，$e(V_2,V_1)$）是从 $V_1$ 到 $V_2$（相应地，从 $V_2$ 到 $V_1$）的弧数。Lee、Loh和Sudakov证明了 $c_2=1/6+o(1)$ 且 $c_3=1/5+o(1)$，并猜想对 $d\ge 4$ 有 $c_d= \frac{d-1}{2(2d-1)}+o(1)$。本文中，我们证明 $c_4=3/14+o(1)$ 并对 $d\ge 5$ 证明了部分结果。