有向图明智二划分的一个界

图上的明智划分问题要求同时界定多个量的划分，近来受到大量关注。Scott 提出了如下自然问题：最大常数 $c_d$ 是多少，使得每个具有 $m$ 条弧且最小出度 $d$ 的有向图 $D$ 都容许一个二划分 $V(D)= V_1\cup V_2$ 满足 $\min\{e(V_1, V_2), e(V_2, V_1)\}\ge c_d m$？这里对 $i=1,2$，$e(V_{i},V_{3-i})$ 表示 $D$ 中从 $V_{i}$ 到 $V_{3-i}$ 的弧数。Lee、Loh 与 Sudakov 猜想每个具有 $m$ 条弧且最小出度至少 $d\ge 2$ 的有向图 $D$ 都容许一个二划分 $V(D)=V_1\cup V_2$ 使得 $$\min\{e(V_1,V_2),e(V_2,V_1)\}\geq \Big(\frac{d-1}{2(2d-1)}+ o(1)\Big)m.$$ 我们证明该猜想在最小入度也至少为 $d$ 这一额外的自然条件下成立。