具有微分区和相变的统计力学配分函数

在可积和混沌系统经典力学的发展背景下，统计力学的基本原理需要重新定义。这通过引入微分区（Micro Partitions）来实现，即相空间中由不相交组成部分构成的联合体。引入包括不变量、Kolmogorov 熵和欧拉数在内的配分函数。讨论了部分准均匀性的 Ergodic 假设。在量子力学中，对称群及其不可约表示的存在会导致哈密顿量出现简并与非简并谱。将这两种情况纳入统计力学框架，即通过包含群表示的简并维数和 Casimir 不变量进入配分函数。讨论了可能出现的新型相变。也讨论了具有非简单连通配置空间的系统及其量子力学，需要对统计力学进行可能的推广。量子纯态、混合态和纠缠态的发展，使得必须理解多体 N 粒子系统的统计力学。为此，以能量基表示密度矩阵，取 Gibbs 算子迹作为配分函数，并用于求得算子的统计平均值。讨论了其中存在的若干定义、解释和应用问题。