无极大值原理的Navier-Stokes与液晶不等式的偏正则性

1985年，V. Scheffer讨论了针对他称之为“Navier-Stokes不等式”解的偏正则性结果。这些映射本质上满足不可压缩条件以及可由Navier-Stokes方程组形式导出的局部和全局能量不等式与压力方程，但不要求满足Navier-Stokes方程组本身。我们将这一概念推广到Fang-Hua Lin和Chun Liu在1990年代中期考虑的一个系统，该系统与向列相液晶流动模型相关，当“指向矢场”$d$取为零时包含Navier-Stokes系统。除扩展的Navier-Stokes系统外，Lin-Liu模型还包含一个进一步的抛物系统，该系统蕴含$d$的先验极大值原理，他们利用此原理建立了解的偏正则性（具体地，$\mathcal{P}^{1}(\mathcal{S})=0$）。对于类似的“不等式”，人们失去了这一极大值原理，但在此我们仍建立了某些偏正则性结果（即$\mathcal{P}^{\frac 92 + \delta}(\mathcal{S})=0$，从而特别地假想奇异集$\mathcal{S}$具有时空Lebesgue测度零）。在对$d$施加关于某一参数$\sigma \in (5,6)$任意固定值的附加假设下（当$\sigma =6$时恰化为Lin和Liu所用的$d$有界性），我们得到与Lin和Liu相同的偏正则性（$\mathcal{P}^{1}(\mathcal{S})=0$）。特别地，我们恢复了Caffarelli-Kohn-Nirenberg（1982）关于Navier-Stokes系统“合适弱解”的偏正则性结果（$\mathcal{P}^{1}(\mathcal{S})=0$），并验证了Scheffer的断言，即对于较弱“不等式”的解同样成立。