一个表面生长模型的局部正则性

我们证明了标量方程 $u_t+u_{xxxx}+\partial_{xx}u_x^2=0$ 的两个局部正则性结果，该方程是分子外延物理过程中产生的表面生长模型。我们证明，时空奇点集的（上）计盒维数不超过 $7/6$，且其 $1$-维（抛物型）Hausdorff 测度为零。这些结果与三维 Navier–Stokes 方程已有的结果相对应。事实上，已知该表面生长模型的数学理论与 Navier–Stokes 方程具有诸多惊人的相似之处，而这些局部正则性结果是朝着理解这一显著相似性迈出的下一步。据我们所知，该表面生长模型是唯一一个已证明此类局部正则性理论类似结果的 Navier–Stokes 方程低维“迷你模型”。在证明过程中，受 Lin (1998) 以及 Ladyzhenskaya 与 Seregin (1999) 的尺度重整化分析启发，我们建立了某种非线性抛物型 Poincaré 不等式，这是一个具有独立意义的概念。我们相信，类似的不等式可应用于其他抛物型方程。