微分方程的偏 Lie 点对称性

当我们考虑一个微分方程 $\Delta=0$，其解集为 ${{\cal S}}_\Delta$ 时，该方程的 Lie 点精确对称性是指一个 Lie 点可逆变换 $T$，使得 $T({{\cal S}}_\Delta)={{\cal S}}_\Delta$，即任何 $\Delta=0$ 的解都被变换为同一方程的（通常不同的）解；在此，我们将 $\Delta=0$ 的{\it 偏}对称性定义为满足以下条件的 Lie 点可逆变换 $T$：存在一个非空子集 ${{\cal P}} \subset {{\cal S}}_\Delta$，使得 $T({{\cal P}}) = {{\cal P}}$，即存在 $\Delta=0$ 的一个解子集，其内部元素相互变换。我们讨论了如何确定偏对称性及不变集 ${{\cal P}} \subset {{\cal S}}_\Delta$，并通过具体实例展示了该方法的有效性。我们还探讨了其与条件对称性的关系，以及该讨论如何应用于动力系统这一特例。我们的讨论将集中于连续 Lie 点偏对称性，但我们的方法也适用于更一般的变换类；事实上，我们沿相同思路将讨论扩展到了偏广义（或 Lie-B"acklund）对称性，并在附录中讨论了离散偏对称性的情形。