非线性常微分方程的对称性：以修正 Emden 方程为例

Lie 对称性分析是分析非线性常微分方程的有力工具之一。我们回顾了该方法在各种对称性方面的有效性。我们介绍了推导二阶常微分方程的 Lie 点对称性、接触对称性、隐藏对称性、非局部对称性、$\lambda$-对称性、伴随对称性和伸缩矢量场的方法。我们还通过考虑一个非线性振子方程作为示例，说明了每种方法所涉及的算法。此外，通过同一示例讨论并说明了 (i) 对称性与积分因子以及 (ii) 对称性与积分之间的联系。还讨论了上述某些对称性之间的相互联系，即 (i) Lie 点对称性与 $\lambda$-对称性，以及 (ii) 指数非局部对称性与 $\lambda$-对称性。最后调用降阶程序推导了该二阶方程的通解。