$r$-Hop、$r$-Step 与 $r$-Hop Roman Domination 的参数复杂度

支配集问题是图论和理论计算机科学中一个经典且广泛研究的主题。本文考察了支配的几种著名精确距离变体的算法复杂度，即 r-Step Domination、r-Hop Domination 和 r-Hop Roman Domination。设 $G$ 为图，设 $r \geq 2$ 为整数。若 $G(V \setminus S)$ 中每个顶点到 $S$ 中某个顶点的距离恰为 $r$，则集合 $S \subseteq V(G)$ 为 $r$-跳支配集。类似地，若 $G$ 中每个顶点到 $S$ 中至少一个顶点的距离恰为 $r$，则 $S$ 为 $r$-步支配集。若函数 $f \colon V(G)\to\{0,1,2\}$ 满足：对于每个 $f(v)=0$ 的顶点 $v$，存在距离 $v$ 恰为 $r$ 的顶点 $u$ 且 $f(u)=2$，则 $f$ 为 $G$ 的 $r$-跳罗马尼亚支配函数。$f$ 的权重定义为 $f(V)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。$r$-Hop Domination(或 $r$-Step Domination)问题询问 $G$ 是否存在大小为 $k$ 的 $r$-跳支配集(或 $r$-步支配集)，而 $r$-Hop Roman Domination 问题询问 $G$ 是否存在权重为 $k$ 的 $r$-跳罗马尼亚支配函数。已知对于每个 $r\geq 2$，问题 $r$-Step Domination、$r$-Hop Domination 和 $r$-Hop Roman Domination 都是 NP 完全的。首先我们证明对于所有 $r\geq 2$，$r$-Hop Roman Domination 是 W[2]-完整的。此外，对于每个 $r\geq 2$，$r$-Step Domination 和 $r$-Hop Domination 即使限制在二分图和圆柱图中也保持 W[2]-硬。除非 ETH 失败，否则这些问题中的任何一个在顶点数为 $n$、边数为 $m$ 的图上运行时间为 $2^{o(n+m)}$ 的算法都不存在。