ParaDiag：基于对角化技术的时并行算法
数值分析
2021-04-15 v4 数值分析
摘要
2008 年，Maday 与 Ronquist 引入了一种有趣的新方法，用于时间依赖偏微分方程的直接时并行（PinT）求解。其思想是对时间步进矩阵进行对角化，保持空间离散矩阵不变，然后并行求解所有时间步。此后出现了若干变体，我们将这些紧密相关的算法称为 ParaDiag 算法。文献中的 ParaDiag 算法可分为两类：ParaDiag-I：直接独立求解器，ParaDiag-II：迭代求解器。我们将在本笔记中解释每类的基本特性。为给出具体示例，我们将针对对流-扩散方程引入 ParaDiag-I 与 ParaDiag-II。我们还将针对波动方程及波动方程的一个最优控制问题引入 ParaDiag-II。我们本也可使用对流-扩散方程来阐释 ParaDiag-II，但波动方程已知会给某些 PinT 算法带来问题，因而构成了测试 ParaDiag 算法的一个特别有趣的示例。我们展示了每种情况下已知的主要理论结果，并提供了用于测试的 Matlab 代码。这些 Matlab 代码旨在帮助感兴趣的读者理解 ParaDiag 算法的关键特性，而非为高效和/或低内存占用而高度优化。我们还提供了针对二维线性对流-扩散方程的 ParaDiag 算法加速比测量。这些结果在中国天河-1 超级计算机与美国 SIUE 校园集群上获得，并将它们与两种广泛使用的 PinT 算法 parareal 和 MGRiT 的性能进行了比较。
引用
@article{arxiv.2005.09158,
title = {ParaDiag: parallel-in-time algorithms based on the diagonalization technique},
author = {Martin J. Gander and Jun Liu and Shu-Lin Wu and Xiaoqiang Yue and Tao Zhou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2005.09158},
year = {2021}
}