一种结合 ParaDIn-Parareal 方法用于求解非线性微分方程的并行方法

正如我们前一工作中所示，平行-in-time 直接逆 (ParaDIn) 方法对可以并行积分的时间水平数 $N_t$ 施加了某些限制。为克服这一问题并进一步提高加速比，我们将 ParaDIn 方法与 Parareal 算法相结合，高效地对由方法差分离散的非线性偏微分方程中的一阶时间导数项进行并行化。本方法的主要思想是使用块-Jacobi 预条件器，使得每个块都通过 ParaDIn 方法求解。为加快 Jacobi 迭代的收敛速度，我们使用 Parareal 方法，其可解释为时间上的两种层次的多网格方法。在传统 Parareal 方法中，粗网格校正步骤是顺序执行的，而在本方法中，粗网格和细网格传播器都通过 ParaDIn 方法并行实现，从而显著提高了该组合算法的并行性能。数值结果表明，新的组合 ParaDIn-Parareal 方法相对于顺序的一阶隐式后向差分 (BDF1) 方案，在 480 个计算核心上可实现最高 124 倍的加速比，用于求解具有平滑和不连续解的 2-D 非线性热方程和 Burgers 方程。