并行时间多重网格 Krylov 方法：一个原型

本文提出了一种用于求解由线性含时偏微分方程离散化产生的微分代数方程的并行时间多重网格迭代法。该方法的核心是 Erlangga 和 Nabben 引入的多重网格 Krylov 方法 [SIAM J. Sci. Comput., 30(2008), pp. 1572--1595]。在该方法中，提出了特殊的时间限制和插值算子，用于粗化时间网格并在细网格与粗网格时间之间映射函数。所得的 Galerkin 粗网格系统可解释为与较大时间步长和修正的 $\theta$-格式相关的等效微分代数方程的时间积分。在最粗层上使用扰动的粗时间网格矩阵来解耦最粗层系统，从而实现方法的全并行化。在此框架内，可以自然地包含空间粗化，进一步减小待求解的最粗网格问题的规模。针对一维和二维热方程，利用模拟并行实现展示了数值结果，表明相对于单处理器实现，计算加速比最高可达 9，而相对于顺序 $\theta$-格式，加速比约为 3。