一阶和二阶演化方程的一种良条件直接时间并行算法

在本文中，我们为具有一阶或二阶导数的时间依赖问题提出了一种直接的时间并行（PinT）算法。我们使用二阶边值方法作为时间积分器，得到一个三对角时间离散矩阵。我们不是迭代求解相应的全时耦合系统，而是将时间离散矩阵对角化，从而在所有时间层上实现直接的并行执行。该方法的一个关键问题是特征向量矩阵$V$的条件数如何随着$n$（时间层数）的增加而增长。大的条件数会导致对角化过程中产生大的舍入误差，这可能严重污染数值精度。基于特征方程与切比雪夫多项式之间的新颖联系，我们给出了计算$V$和$V^{-1}$的显式公式，并由此证明了$\mathrm{Cond}_2(V)=\mathcal{O}(n^{2})$。这意味着对角化过程是良条件的，舍入误差仅随$n$增长而适度增加，因此与其他直接PinT算法相比，可以使用大得多的$n$来获得令人满意的并行性。我们给出了在并行机上的数值结果以支持我们的发现，其中使用256核实现了超过60倍的加速。