求解反空间相关源问题的直接并行时间拟边界值方法

反源问题在现实应用中频繁出现，例如定位未知的地下水污染源。与 Tikhonov 正则化不同，拟边界值方法已被提出并分析作为一种正则化此类反源问题的有效途径，并在适当假设下被证明可达到最优阶收敛速率。然而，针对所得 all-at-once（全时空耦合）大规模线性系统的快速直接或迭代求解器在文献中鲜有研究。本工作中，我们首先提出并分析了一种修正的拟边界值方法，随后开发了一种基于对角化的并行时间 (PinT) 直接求解器，与 MATLAB 的稀疏直接求解器相比，其在 CPU 时间上可实现显著加速。特别地，时间离散矩阵 $B$ 被证明可对角化，且其特征向量矩阵 $V$ 的条件数被证明呈二次增长，这保证了对角化引起的舍入误差得到良好控制。我们给出了若干一维和二维算例，以展示所提方法极具潜力的计算效率，其中二维情形的 CPU 时间可加速三个数量级。