$p$-adic 周期与 Selmer 方案像素

Chabauty--Kim 方法旨在解决有效的 Faltings 问题，即明确确定双曲曲线上有限的有理点集。这一方法在更具体的 Quadratic Chabauty 方法中取得了成功，但该方法仍仅适用于特定曲线。Chabauty--Kim 的以前的应用超出二次水平，如作者所及 S. Wewers 和他人所做的，通过使用混合 Tate 动机和 Chatzistamatiou-\"Unver 的 $p$-adic 周期图来处理特定的双曲曲线 $\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\}$。本文的主要目的是为扩展上述方法到更一般的双曲曲线奠定基础，特别是通过为更一般的动机类别及其非约束论的亲属者（如实化系统和 $p$-adic 伽罗瓦表示）定义类似的 $p$-adic 周期图。我们用它来描述一种用于任意双曲曲线的非阿贝尔 Chabauty 的通用设置。我们的周期图还将 $p$-adic 迭代积分的研究与 Goncharov 的动机迭代积分理论相联系，使我们能够从 $p$-adic 视角研究 Goncharov 的猜想。特别是，它暗示了通过以动机迭代积分的形式编写 $K$-理论元素的可能性，以评估 syntomic regulator。最后，它为适用于 Chabauty--Kim 理论的混合 Tate 动机 Yamashita $p$-adic 周期猜想的某种泛化奠定了基础。