相对完成下的单偶性 Chabauty-Kim-Kantor 方法

Kantor 的学位论文是统一 Chabauty-Kim 方法和 Lawrence-Venkatesh 方法的第一步，通过相对完成实现。本文通过解决其局限性，实现了第一个在局部与全局 Galois 同调维数不等式意味着曲线的 Diophantine 有限性的统一。这导致了一个新的条件性 Faltings 定理和 Siegel 定理的证明，并引入一种新的 p 原分析方法用于计算双曲曲线上的有理点，该方法在 Chabauty-Kim 和 Lawrence-Venkatesh 方法方面具有优势。我们的技术贡献有三方面。首先，我们确立了 Kantor p 原周期图的稠密性。其次，我们的方法适用于所有 genus g ≥ 2 的曲线，拓展了 Kantor 学位论文中仅考虑的特定模曲线。第三，我们解决了 Kantor 全局 Selmer 棱堆的可表征性问题。此前，Kantor 方法需要额外的 p 原 Hodge 理论假设才能将其 Selmer 棱堆——形式上是一个刚性分析棱堆——在具有合适维数理论的范畴中表示。我们通过取代 Kim 框架中使用的单偶性完成，采用源自 Kodaira-Parshin 家族相对联想的单偶性根的单偶性完成来实现这一点。Kantor 方法是 Effective Faltings Problem 迈出的一步，该问题寻求不仅确立双曲曲线上有理点有限，而且能够对其进行显式计算。虽然 Lawrence-Venkatesh 方法是无条件的，但尚未对任何曲线实现有效性。相比之下，Chabauty-Kim 方法虽有条件，但在 various 设置下已实现有效性。我们的 Unipotent Chabauty-Kim-Kantor 方法解决了 Kantor 项目中的关键挑战，凸显了其在理论和计算方面的潜力。