双 knots 的 Ozsvath-Szabo 与 Rasmussen 不变量

设 \nu 为任一整数值可加纽结不变量，其界定纽结 K 的光滑 4-亏格，即 $|\nu(K)| \le g_4(K)$，并确定正环面纽结的 4-球亏格，$\nu(T_{p,q}) = (p-1)(q-1)/2$。Ozsvath-Szabo 或 Rasmussen 的纽结同痕不变量（经适当规范化）均具有这些性质。令 $D_{\pm}(K,t)$ 表示 K 的正或负 t-扭转双纽结。我们证明若 $\nu(D_{+}(K,t)) = \pm 1$，则 $\nu(D_{-}(K,t)) = 0$。还证明了对于所有 $t \le TB(K)$ 有 $\nu(D_{+}(K,t))= 1$，且对于所有 $t \ge -TB(-K)$ 有 $\nu(D_{+}(K, t)) = 0$，其中 $TB(K)$ 表示 Thurston-Bennequin 数。还给出一个实现结果：对任意 $2g \times 2g$ Seifert 矩阵 A 和整数 a（$|a| \le g$），存在一个具有 Seifert 型 A 且 $\nu(K) = a$ 的纽结。