双 knots 的协和不变量与爆破

设 $\nu$ 为适当归一化的 Ozsv\'ath-Szab\'o $\tau$ 不变性或 Rasmussen $s$ 不变性。对 knot $K$，Livingston 与 Naik 定义不变性 $t_\nu(K)$ 为使得 $K$ 的 $k$ 次扭曲正 Whitehead 双 knot 的 $\nu$ 消失的最小 $k$。他们证明了 $t_\nu(K)$ 由上界 $-TB(-K)$ 限制，其中 $TB$ 为最大 Thurston-Bennequin 数。我们利用爆破过程得到了交叉变换公式，以及用解结数表示的 $t_\nu$ 的新上界。作为一个应用，我们给出了无穷多个 knot $K$，使得 Livingston-Naik 的上界 $-TB(-K)$ 与 $t_\nu(K)$ 之差可以任意大。