环面结的非定向三维亏格与非定向四维亏格的比较

我们比较环面结的非定向三维亏格（或称叉帽数）与非定向四维亏格的取值。特别地，令 T(p,q) 为任意 p 为偶数、q 为奇数的环面结。这两个不变量在 T(p,q) 上的差至少为 k/2，其中 p = qk + a 且 0 < a < q 以及 $k\geq 0$。因此，对于任意固定的奇数 q，当 p 取模 q 的固定同余类中的值时，环面结 T(p,q) 上这两个不变量的差可任意增大。这与可定向情形形成对比。Seifert 证明了环面结 T(p,q) 的可定向三维亏格为 (p-1)(q-1)/2，而 Kronheimer 与 Mrowka 后来证明了 T(p,q) 的可定向四维亏格也为同一数值。