正交与辛 Harish-Chandra 积分及矩阵乘积系综

本文中，我们强调正交与辛 Harish-Chandra 积分在实值矩阵乘积系综研究中所起的作用。利用这些积分与矩阵值 Fourier-Laplace 变换，我们找到了特定 Hermitian 反对称矩阵与特定 Hermitian 反自对偶矩阵（涉及和与积）的显式特征值分布。作为这些结果的推论，可确定随机乘积结构 $X_M \cdots X_1( iA) X_1^T \cdots X_M^T$ 的特征值概率密度函数，其中每个 $X_i$ 是标准实高斯矩阵，且 $A$ 是实反对称矩阵。当 $M=1$ 且 $A$ 为对角线上方元素为 1 的双对角反对称矩阵时，这重新得到了 Defosseux 的结果。对于一般的 $M$，以及此 $A$ 的选择，或 $A$ 本身为标准高斯反对称矩阵，特征值分布被证明与 Akemann 等人首次研究的某些复高斯矩阵乘积的奇异值平方的分布一致。作为独立的兴趣点，我们还包含了正交与辛 Harish-Chandra 积分的自包含扩散方程推导。