量级时间可逆马尔可夫链与聚类过程的刻画

我们引入了由正参数 $\ep$ 参数化的马尔可夫链中的量级时间可逆性（OM-reversibility）概念。OM-reversibility 是比时间可逆性更弱的条件，仅需知道转移概率的量级。对于有限状态空间上的不可约 OM-reversible 马尔可夫链，我们证明了其平稳分布满足量级细致平衡（即可逆马尔可夫链中细致平衡的类比）。该结果刻画了当 $\ep \to 0$ 时平稳分布极限中具有正概率的状态，这在 $\ep=0$ 时可约的奇异摄动马尔可夫链情形下具有重要应用。我们表明，OM-reversibility 自然出现在涉及大量相互作用粒子的宏观系统中。聚类是生物系统中的常见现象，其中粒子或分子聚集在某一位置。我们给出了相互作用粒子马尔可夫链中转移概率的一个简单条件，用以刻画聚类过程。我们证明了此类聚类过程是 OM-reversible 的，并显式地求出了平稳分布的量级。此外，我们证明了单极点态（即所有粒子位于单个顶点）是当扩散速率趋于零时平稳分布极限中唯一具有正概率的状态。