机械 Liouville 方程的轨道与可达 Hamilton 微分

我们研究了沿机械 Hamilton 向量场的 Liouville 传输方程的近似可控性问题。此类 PDE 在轨道内演化 $$\mathcal{O}(\rho_0):=\left\{\rho_0\circ \Phi\mid \Phi\in {\rm DHam}(T^*M)\right\},\quad \rho_0\in L^r(T^*M,\mathbb{R}), \quad r\in[1,\infty),$$其中 $\rho_0$ 是初始密度，${\rm DHam}(T^*M)$ 是余切束手册上 Hamilton 微分的群。因此，$\rho_0$ 的近似可达密度包含在 $\overline{\mathcal{O}(\rho_0)}$ 中，其中闭合取决于 $L^r$ 拓扑。我们的第一个结果是对当流形 $M$ 为欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$ 或维数任意的环面 $\mathbb{T}^d$ 时，对 $\overline{\mathcal{O}(\rho_0)}$ 的特征化：$\overline{\mathcal{O}(\rho_0)}$ 是所有亚级集和超级级集具有与 $\rho_0$ 相同测度的密度的集合。这一结果是 ${\rm DHam}(T^*M)$ 情形下 Moser 定理的一个近似版本(见 J. Moser, Trans. Am. Math. Soc. 120: 286-294, 1965)，关于微分群的定理。随后我们提出了两个系统的例子，分别在 $M=\mathbb{R}^d$ 和 $\mathbb{T}^d$ 上，其中小时间近似可达微分与 ${\rm DHam}(T^*M)$ 一致，分别在群层面和密度层面。证明基于构造近似有限网格置换的 Hamilton 微分，以及泊松括号技术。