轨道分岔与波函数自关联

最近有研究表明（Keating & Prado, Proc. R. Soc. Lond. A 457, 1855-1872 (2001)），在半经典极限下，当所讨论的经典周期轨道发生分岔时，混沌系统中量子本征函数被经典周期轨道疤痕化的现象可能显著增强。具体而言，发生分岔的轨道会产生一种疤痕，其振幅按 $\hbar^{\alpha}$ 缩放，宽度按 $\hbar^{\omega}$ 缩放，其中 $\alpha$ 和 $\omega$ 为依赖于分岔的疤痕指数，其取值通常小于那些与孤立且不稳定的周期轨道相关联的取值（$\alpha=\omega=1/2$）。本文在此分析分岔对量子本征态自关联函数（按能量平均）的影响。结果表明，分岔轨道附近关联的长度尺度在半经典下按 $\hbar^{1-\alpha}$ 缩放，其中 $\alpha$ 为相应的疤痕振幅指数。通过对一族受扰猫映射的数值计算，说明了分岔在量子自关联上的这一印记。