期权亦是期权的期权：如何用 Black-Scholes 刻画波动率微笑

我们观察到，行权价 $L > K$ 的欧式看涨期权可视为行权价为 $L-K$ 的、以行权价 $K$ 的看涨期权为标的的看涨期权。在无套利假设下，这立即给出两类合约价格完全相同，且具有完全一般性。我们详细研究了相对定价函数，其给出 Call on Call 期权价格作为其标的看涨期权价格的函数，并针对包含 Black-Scholes 模型作为特例的 Carr-Pelts-Tehranchi 族 [Carr and Pelts, Duality, Deltas, and Derivatives Pricing, 2015] 与 [Tehranchi, A Black-Scholes inequality: applications and generalisations, Finance Stoch, 2020] 给出了这些新定价函数的准封闭公式。我们还研究了将价格除以标的资产归一化后视为资金率（moneyness）的函数映射到归一化相对价格的函数之性质，并由此给出若干新的封闭公式。结合波动率微笑的对称变换，我们针对不消失的标的资产构建了相对定价函数的提升（lift）。最后，我们给出了 Black-Scholes 模型中 Calls on Calls 与提升的 Calls on Calls 的隐含波动率微笑的一些性质。