变 Ricci 界空间上的最优传输、梯度估计与路径wise布朗耦合

给定度量测度空间 $(X,\mathsf{d},\mathfrak{m})$ 与下半连续、下有界函数 $k\colon X\to\mathbb{R}$，我们证明在 $x\in X$ 处 Ricci 曲率由 $k(x)$ 从下方界定的合成方法之等价性，即：$\bullet$ 以适当弱形式表述的 Bakry-\'Emery 估计 $\Delta\Gamma(f)/2 - \Gamma(f,\Delta f) \geq k\,\Gamma(f)$，与 $\bullet$ Lott-Sturm-Villani 意义下带变 $k$ 的曲率维数条件 $\mathrm{CD}(k,\infty)$。此外，对所有 $p\in(1,\infty)$，这些性质成立当且仅当扰动的 $p$-传输代价 \begin{equation*} W_p^{\underline{k}}(\mu_1,\mu_2,t):=\inf_{(\mathsf{b}^1,\mathsf{b}^2)} \mathbb{E}\Big[\mathrm{e}^{\int_0^{2t} p \underline{k}\left(\mathsf{b}^1_{r}, \mathsf{b}^2_{r}\right)/2\,\mathrm{d} r} \mathsf{d}^p\!\left(\mathsf{b}^1_{2t},\mathsf{b}^2_{2t} \right)\!\Big]^{1/p} \end{equation*} 关于 $t$ 非增。此处下确界取遍在 X 上具给定初始分布 $\mu_1$ 与 $\mu_2$ 的耦合布朗运动对 $\mathsf{b}^1$ 与 $\mathsf{b}^2$，且 $\underline{k}(x,y) := \inf_\gamma \int_0^1 k(\gamma_s)\,\mathrm{d} s$ 表示沿连接 x 与 y 的测地线 $\gamma$ 上 $k$ 的“平均”。进一步，对 X 上任意初始分布对 $\mu_1$ 与 $\mu_2$，我们证明存在耦合布朗运动对 $\mathsf{b}^1$ 与 $\mathsf{b}^2$ 使得 a.s. 对每对 $s,t\in[0,\infty)$ 且 $s\leq t$，有 \begin{equation*} \mathsf{d}\!\left(\mathsf{b}_t^1,\mathsf{b}_t^2\right)\leq \mathrm{e}^{-\int_s^t \underline{k}\left(\mathsf{b}_r^1,\mathsf{b}_r^2\right)/2\,\mathrm{d} r} \mathsf{d}\!\left(\mathsf{b}_s^1,\mathsf{b}_s^2\right)\!. \end{equation*}