算子序列的最优恢复

在本文中我们考虑两类基于含误差信息的最优恢复问题。第一类是在空间 $\ell_q$ 中类 $W^T_q = \{(t_1h_1,t_2h_2,\ldots)\in \ell_q\,:\,\|h\|_q\leqslant 1\}$ 的最优恢复问题，其中 $1\le q < \infty$ 且 $t_1\geqslant t_2\geqslant \ldots \geqslant 0$，当我们以不精确信息的身份已知序列的前 $n\in\mathbb{N}$ 个元素（误差在有限序列空间 $\ell_r^n$，$0 < r \le \infty$ 中度量）或序列本身（误差在 $\ell_r$ 空间中度量）时。第二类是作用在类 $W^T_p$ 与 $W^S_q$ 的笛卡尔积 $W^{T,S}_{p,q}$ 上的标量积的最优恢复问题，其中 $1 < p,q < \infty$、$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 且 $s_1\ge s_2\ge \ldots \ge 0$，当我们以不精确信息的身份已知元素 $x\times y \in W^{T,S}_{p,q}$ 的前 $n$ 个坐标乘积 $x_1y_1, x_2y_2,\ldots,x_ny_m$（误差在空间 $\ell_r^n$ 中度量）时。我们找到了上述问题的精确解并构造了最优恢复方法。作为我们结果的应用，我们考虑了在 Hilbert 空间中由已知含误差（误差在 $\ell_p$ 空间中度量，$p > 2$）的 Fourier 系数对类进行最优恢复的问题。