酉群中对称作用量的最优路径

给定一个定义在厄米特矩阵代数上的正定且酉不变拉格朗日量 $L$，以及一个固定区间 $[a,b]\subset\mathbb R$，我们研究在 $n\times n$ 酉矩阵李群 $\mathcal{U}(n)$ 上由 $$S(\alpha)=\int_a^b L(\dot\alpha(t))\,dt$$ 定义的作用量，其中 $\alpha:[a,b]\to\mathcal{U}(n)$ 是一条可求长曲线。我们证明，只要指数谱的界不超过 $\pi$，$\mathcal{U}(n)$ 的单参数子群就是最优路径。此外，若 $L$ 严格凸，我们证明单参数子群是连接给定端点的唯一最优曲线。最后，我们还研究了这些结果与 $\mathcal{U}(n)$ 中酉不变度量以及格拉斯曼流形中角度度量的联系。