基于 Gagliardo 引理的某些向量微分算子到 Lorentz 空间的最优嵌入

我们证明了一族形如 $$\Vert u \Vert_{L^{\frac{n}{n-1}, 1} (\mathbb{R}^n,V)} \le \Vert A (D) u \Vert_{L^1 (\mathbb{R}^n,E)}$$ 的 Sobolev 不等式,其中 $A (D) : C^\infty_c (\mathbb{R}^n, V) \to C^\infty_c (\mathbb{R}^n, E)$ 是一个具有常系数的向量一阶齐次线性微分算子,$u$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的向量场,$L^{\frac{n}{n - 1}, 1} (\mathbb{R}^{n})$ 是一个 Lorentz 空间。这些新不等式特别地蕴含了最初由 Alvino 给出的经典 Gagliardo-Nirenberg 不等式到 Lorentz 空间的推广,以及在 Lorentz 尺度上对 Strauss 关于形变算子的一个不等式(Korn-Sobolev 不等式)的 sharpening。证明依赖于 Loomis--Whitney 不等式和 Gagliardo 引理的非正交应用。