$\mathbb{R}^n$ 中 Hardy 不等式的等价与可达版本

我们研究整个空间 $\mathbb{R}^n$ 中 Hardy 不等式与 Sobolev–Lorentz 空间嵌入不等式之间的联系。特别地，我们通过建立 Sobolev–Lorentz 拟范数 $\|\nabla\,\cdot\,\|_{p,q}$ 在 $p < q<\infty$ 范围（自 Alvino 的工作以来基本悬而未决）的最优嵌入不等式，补全了 [A. Alvino, Sulla diseguaglianza di Sobolev in spazi di Lorentz, (1977)] 与 [G. Talenti, An inequality between $u^*$ and $|{\rm{grad}} u^*|$, (1992)] 的先前结果。我们还研究了最佳嵌入常数的可达性，以及 $q=\infty$ 时的极限情形。在此，我们惊人地发现 Hardy 不等式等价于相应的 Sobolev–Marcinkiewicz 嵌入不等式。此外，后者可由 [Brezis-V\'azquez, Blow-up solutions of some nonlinear elliptic problems, (1977)] 中所谓的“幽灵”极值函数达到，这与 Hardy 不等式永不可达形成鲜明对比。在此意义上，我们的泛函方法似乎比经典的 Sobolev 框架更为自然，回答了 Brezis 与 V\'azquez 提出的一个问题。