向量场的单射椭圆性、抵消算子与端点 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式

尽管 Ornstein 的非估计意味着一般无法用常系数齐次向量微分算子的 $L^1$-范数控制函数导数的所有 $L^1$-范数，但相应的端点 Sobolev 不等式在许多情况下已知成立：标量函数的梯度（Gagliardo 和 Nirenberg）、形变算子（M.J. Strauss 的 Korn-Sobolev 不等式）以及 Hodge 复形（Bourgain 和 Brezis）。估计成立的微分算子类可由一个抵消条件刻画。估计的证明依赖于对位于余抵消微分算子核中的 $L^1$-向量场的对偶估计，结合经典线性代数与调和分析技术。该刻画统一了已知的 Sobolev 不等式类，并推广到分数 Sobolev 与 Hardy 不等式。Raiță 引入的类似较弱条件刻画了存在低阶导数的 $L^\infty$-估计的算子。