消去椭圆微分算子的分数阶Hardy-Sobolev不等式

设$A(D)$为$\mathbb{R}^{N}$（$N \geq 2$）上从复向量空间E到复向量空间F的$\nu$阶椭圆齐次线性微分算子。在本文中我们证明，若$\ell\in \mathbb{R}$满足$0< \ell <N$且$\ell \leq \nu$，则估计\begin{equation}\nonumber \left(\int_{\mathbb{R}^{N}}| (-\Delta)^{(\nu-\ell)/2}u(x)|^{q}|x|^{-N+(N-\ell)q}\,dx\right)^{1/q}\leq C \|A(D)u\|_{L^{1}} \end{equation}对每一个$u \in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^{N};E)$和$1\le q<\frac{N}{N-\ell}$成立，当且仅当$A(D)$在V. Schaftingen [VS]的意义下是消去的。这里$(-\Delta)^{a/2}u$是定义为傅里叶乘子的分数阶拉普拉斯算子。该估计扩展、蕴含并统一了P. Bousquet和V. Schaftingen在[BVS]中讨论的一系列经典不等式。我们还给出了前述不等式对具有光滑变系数算子的局部版本。