算子相关的para-controlled微积分、周期均匀化与奇异PDE

我们发展了一种基于算子相关（广义）Beppo-Levi 空间的para-controlled分布框架变体。这些空间由Kerkyacharian-Petrushev ([KP15])引入。与经典setting中的傅里叶分解不同，它们是由一般自伴椭圆算子的谱分解构建的。主要区别在于，两个谱局部化函数的乘积在一般情况下具有“频率”在整个谱上的扩散。我们对两个谱局部化函数乘积的“高频”分量进行衰减估计。这使我们能够获得与所涉算子相关联的自然para乘积和commutator操作的均匀界。这包括周期均匀化算子族，这些算子在振荡参数上均匀。接下来，我们展示了这些操作在周期均匀化setting中的收敛性。关键要素是广义Littlewood-Paley块算子随谱层级的定量依赖收敛。该证明结合了一种新颖的聚类论证来分组相邻特征值，Weyl的渐近公式暗示特征值簇的大小和位置的定量界限，以及Kenig-Lin-Shen ([KLS13])关于单个特征值收敛的结果。最后，我们将这个framework应用于$\Phi^4_3$和KPZ方程的周期均匀化问题。假设随机对象的收敛到其均匀化极限，我们证明解和通量也收敛到相应的极限。具有合适renormalization的显式随机项的收敛将在单独的论文中处理。