关于具分布系数的椭圆算子的定义域

在本文中，我们展示如何利用近期从奇异 SPDEs 研究中获得的认识，更具体地说是通过抛物控制分布理论对奇异算子的研究，来为（奇异）椭圆算子构造定义域。形式上，我们考虑 $$A (u) \text{"$=$''} (1 - \Delta) u + \nabla V \cdot \nabla u + \xi u + {{div} (\rho u)},$$ 其中 $V \in \mathcal{C}^{\delta}$，$\xi \in \mathcal{C}^{- 2 + \delta}$，$\rho \in \mathcal{C}^{- 1 + \delta},{div}\rho = 0$，且它们满足一个结构性假设，该假设在 $\xi$ 为“亚临界噪声”时尤为成立。我们还证明，在此假设下，可以构造一个连续的变量替换 $\Theta$，满足 $$A \Theta - (1 - \Delta) \in \mathcal{L} (H^2 ; H^{\delta'})$$ 这使我们能够严格定义 $A$ 并对定义域进行参数化。此外，对于适当正则化的算子 $$A_{\varepsilon} (u) := (1 - \Delta) u + \nabla V_{\varepsilon} \cdot \nabla u + (\xi_{\varepsilon} + c_{\varepsilon}) u + {{div} (\rho_{\varepsilon} \cdot u)},$$ 我们证明，对于强收敛的正则化变量替换 $\Theta_{\varepsilon} \rightarrow \Theta$，有 $$A_{\varepsilon} \Theta_{\varepsilon} \rightarrow A \Theta \text{ in } \mathcal{L} (H^2 ; L^2)$$ 这特别蕴含了向极限闭算子的范数预解式收敛。