一步 $G$-不可改进数

本文确立了正整数集 ${\bf U_1}$（其中 $N>5$ 且满足 $G(N)\le \min(G(N/q), G(Np))$，这里 $q, p$ 为素数，$q\ | N$，$G(N):=\frac{\sigma(N)}{N\log \log N}$ 表示 Gronwall 数，$\sigma(N)$ 为 $N$ 的所有因子之和）的无穷性。提出了一种构造性算法，可依次计算 ${\bf U_1}$ 的元素，其中最小者为 $N_1^*=2^5\cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 =160\ 626\ 866\ 400$，$G(N_1^*)=1.7374\dots$。研究了这些数的一些有趣性质，可能对 Ramanujan-Robin 不等式的证明有用。